테일러 시리즈, 어렵지 않아요 – 곡선도 직선처럼 다룰 수 있다고?

수학이든 공학이든, 복잡한 함수가 나오면 항상 등장하는 이름. 바로 “테일러 시리즈”입니다.

이 글에서는 테일러 시리즈가 무엇인지, 왜 쓰는지, 그리고 전력전자 같은 실제 분야에서 어떻게 쓰이는지 고등학생 눈높이에서 쉽게 풀어보겠습니다.

테일러 시리즈

Table of Contents

✅ 1. 테일러 시리즈는 뭐죠?

테일러 시리즈는 곡선 함수를 직선(혹은 다항식)으로 바꿔서 다루는 방법이에요.

예를 들어, 여러분이 아는 $\sin(x)$ 같은 함수는 그래프가 곡선이죠.
그런데 이걸 어떤 특정 점 근처에서는 직선처럼 근사할 수 있다는 게 테일러 시리즈의 핵심입니다.

$\sin(x) \approx x \quad \text{(when x is very small)}$

이게 바로 1차 테일러 근사예요.
더 정밀하게 하려면 다음과 같이 3차, 5차 항도 추가할 수 있어요.

$\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$

세 가지 이유가 있어요:

함수 $f(x)$ 를 기준점 $a$ 근처에서 근사하고 싶을 때:

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$

이 식에서 1차까지만 쓰면 선형(linear) 근사,
2차 이상까지 쓰면 곡선까지 고려한 정밀한 근사가 됩니다.

전기를 AC로 바꾸는 인버터의 전력은 이런 수식으로 계산돼요:

$P = \frac{VE}{X} \sin(\delta)$

그런데 이 $\sin(\delta)$ 때문에 계산이 복잡해요.
그래서 작은 각도에서는 이렇게 바꿔요:

$\sin(\delta) \approx \delta \quad \text{(1-order)}$

하지만 전력계통에 사고가 발생해서 위상차 $\delta$ 가 커진다면?

그때는 더 정밀하게:

$\sin(\delta) \approx \delta - \frac{\delta^3}{6} \quad \text{(3-order)}$

이렇게 바꿔야 정확한 계산과 제어가 가능해집니다.

구분	설명	예시
1차 테일러	직선으로 근사	$\sin(x) \approx x$
3차 테일러	곡선까지 고려	$\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6}$
전력전자 응용	인버터, 제어기 모델링	$P = \frac{VE}{X} \sin(\delta) \rightarrow \delta - \frac{\delta^3}{6}$

테일러 시리즈는 복잡한 세상의 곡선을
직선과 곡선의 조합으로 풀어내는 강력한 도구예요.

이 개념은 수학에서 시작됐지만, 전기공학, 제어, 물리, 심지어 컴퓨터 그래픽까지 정말 널리 쓰입니다.

최신 관련글: